L'ensemble de Mandelbrot

définition et propriétés

Sa formule de définition

Le propre formule de l’ensemble de Mandelbrot

Définition

Savez-vous l’ensemble de Mandelbrot ?

L’ensemble de Mandelbrotest en sous-ensemble du plan. C’est à dire ensemble de plusieurs points. Celle-ci contient des aires mais aussi des courbes lisses, des filaments, des points d’où émanent de multiples branches, ainsi que d’autres choses.L’ensemble de Mandelbrot est l’ensemble des valeurs de c dans le plan complexe pour lequel l’orbite de la point critique z Il caractérise le comportement du système dynamique suivant dans C

Avant la première guerre mondiale, l’ensemble de Mandelbrot a été découvert par Gaston Julia et Pierre Fatou.

Cet ensemble permet d’indicer les ensembles de Julia, à savoir qu’à chaque point du plan complexe correspond à un ensemble de Julia différent. L’ensemble de Julia est en un seul morceau, d’où son surnom de Chef d’orchestre.

Les images de l’ensemble de Mandelbrot sont faites en parcourant les nombres complexes sur une surface carrée du plan complexe et en déterminant pour chacun d’eux si le résultat tend vers l’infini ou pas lorsqu’on itère une opération mathématique.

Historique

D’où vient l’ensemble de Mandelbrot

L’ensemble de Mandelbrot a son origine dans le dynamique complexe, ce domaine a été étudié par le Mathématiciens français Pierre Fatou et Gaston Julia au début de XXe siècle.

Cette fractale a été définie et dessinée pour la première fois en 1978 par Robert W.Brooks et Peter Matelski dans le cadre d’une étude sur Groupes Kleiniens.

Mandelbrot a étudié l’espace de paramètre de polynômes quadratiques dans un article paru en 1980. En 1985, l’étude mathématique de l’ensemble de Mandelbrot a commencé avec les travaux des mathématiciens John H.Hubbard et Adrien Douady.

benoit_mandelbrot

QUI EST MANDELBROT

Benoît Mandelbrot est un mathématicien franco-américain, c’est le créateur du mot « Fractale ».

Ce mot a été créé par Mandelbrot pour la première édition de son livre en 1975. Depuis la fin du XIXe siècle, diverses figures fractales avaient été inventées par des mathématiciens.

Il est connu pour ses participations essentielles dans le domaine de la géométrie fractale.

Les fonctions utilisées par Julia et par Mandelbrot

Les ensembles de Julia et Mandelbrot sont associés.
Ils sont surprenants par beauté et leur complexité.

Z étant une variable complexe, on construit la suite définie par Zn+1 = Zn² + C

Cette expression est très intéressante lorsque Z représente un nombre complexe : Z = a + ib,

Ce nombre complexe Z est représenté par le plan par un point d’abscisse a et d’ordonnée b.

Si Z = a + ib et Z’ = a’ +ib’

À savoir que cette addition est définie par Z + Z’ = ( a + a’ ) + i (b + b’)

Et la multiplication par Z Z’ = ( aa’ – bb’) + i ( ba’ + ab’ ) car i² = -1

Cette suite a été étudiée par Gaston Julia.
Des années plus tard, Mandelbrot étudia l’expression Zn+1 = Zn² + C.

Il explora l’utilité des fractales dans plusieurs domaines surtout en physique et en économie.

Le terme de fractale est inventé en 1975. En étudiant les ensembles de Julia, il découvrit ceux qui portent son nom : Les ensemble de Mandelbrot.

Propriétés

Au début du XXe siècle, la théorie générale a été développée par Pière Fatou et Gaston Julia, associe à toute fonction notamment sur f(z, c). Les ensembles de Julia J, définis comme la frontière de l’ensemble des complexes tels que la suite définie par z0 = a et zn+1 = f(zn, c) reste bornée ; pour la fonction particulière (z, c) = z2 + c, on définit l’ensemble de Mandelbrot M comme l’ensemble des c pour lequel Jc est connexe.
Fatou et Julia ont démontré que cette définition est équivalente à c appartient à M si et seulement si la suite (zn) définie par z0 = 0 et zn+1 = zn2 + c reste bornée. Il s’agit donc des points de coordonnées (a,b) tels que les deux suites (xn) et (yn) définies par la concurrence x0 = y0 = 0 et xn+1 = xn2yn2 + a ; yn+1 = 2xnyn + b restent bornées.

Benoît_Mandelbrot

Barrière du module égale à 2

Si la suite des modules des zn est strictement supérieure à 2 pour un certain indice, cette suite est croissante à partir de cet indice et elle tend vers l’infini,
Et pour que la suite (zn) soit bornée, il faut qu’elle reste bornée par 2 et ne tende pas vers l’infini.
Cette formule fournit deux définitions de l’ensemble de Mandelbrot et prouve que cet ensemble est inclus dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 0.

Géométrie élémentaire

L’ensemble M de Mandelbrot est compact, symétrique par rapport à l’axe réel et contient le disque fermé de centre 0 et de rayon 1/4.

Connexité

En 1985, Hubbard et Douady ont montré que l’ensemble était connexe. Ce résultat n’était pas évident à l’observation des premiers tracés de Mandelbrot, qui faisait apparaître des « îlots » semblant détachés du reste. Dans ce cas, il ont montré que le complémentaire de l’ensemble de Mandelbrot est conformément isomorphe au complémentaire dans du disque unité.

Autosimilarité

L’ensemble de Mandelbrot est autosimilaire dans le voisinage des points de Misiurewicz

Ces points sont denses sur toute la frontière de l’ensemble. On conjecture qu’il aussi est similaire, à la limite, autour des points de Feigenbaum 

Autosimilarité autour d'un point de Misiurewicz

Autosimilarité autour d'un point de Misiurewicz −0,1011 + 0,9563i.

Ensemble de mandelbrot

Universalité

L’ensemble de Mandelbrot M a un caractère universel pour de nombreuse fonctions holomorphes. Des copies de M sont visibles sur les frontières de leurs bassins d’attraction, c’est à dire des ensembles des C pour lesquels les intérés f(f(…f(z)))) convergent vers un complexe donné.

Exemple d’une universalité avec des fonctions transcendantes :



 On peut retrouver également M lors de l’itération d’une famille de fonction cubiques telles que par la méthode de Newton

Les objets fractal

Les irrégularités de la nature, d’apparence chaotique, comme les études des irrégularités des côtes maritimes, de la forme des nuages ou bien d’un arbre . On peut dire que c’est l’expression d’une géométrie très complexe de l’infiniment petit.

Benoît Mandelbrot et les fractales

Ce mot a été créé par Mandelbrot pour son livre « Les objets fractals » afin de désigner les propriétés communes de tous les processus et structures qu’il a étudiés.

Ensuite, il s’intéresse à des sujets purement mathématiques et revient après sur les travaux de Julia et Fatou qu’il a fait auparavant. Il a obtenu la présentation graphique de l’ensemble des ensembles de Julia et Fatou en 1980 et il en étudie les propriétés fractales. Toutefois, en 1978, il semble qu’il ait été un peu précédé par Brooks et Matelski qui avaient publié une représentation grossière mais correcte sur une imprimante alphanumérique.

Mandelbrot devient célèbre et œuvre à la diffusion de la géométrie et des mathématique fractales qui intéressent beaucoup de personnes dans des domaines très divers, que ce soient travaux théoriques, artistiques ou appliqués.